Rachunek całkowy Funkcje homograficzne Funkcje liniowe

Całka z pierwiastkami dowolnego stopnia z funkcji liniowej lub homograficznej

Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych stopni z tej samej funkcji liniowej

Całkę postaci

(1)

\( \int R \left( x, \sqrt[n_1]{ ax+b }, \sqrt[n_2]{ ax+b }, \dots, \sqrt[n_k]{ ax+b } \right) dx, \)

gdzie \( R \) jest funkcją wymierną wielu zmiennych, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej zmiennej \( t \), stosując podstawienie

(2)

\( t=\sqrt[N]{ ax+b }, \)

gdzie \( N= NWW(n_1, n_2, \dots, n_k). \)

Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych stopni z tej samej funkcji homograficznej

Całkę postaci

(3)

\( \int R \left( x, \sqrt[n_1]{ \frac{ ax+b }{ cx+d } }, \sqrt[n_2]{ \frac{ ax+b }{ cx+d } }, \dots, \sqrt[n_k]{ \frac{ ax+b }{ cx+d } } \right) dx, \)

gdzie \( \left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right| \neq 0 \) oraz \( R \) jest funkcją wymierną wielu zmiennych, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej zmiennej \( t \), stosując podstawienie

(4)

\( t=\sqrt[N]{ \frac{ ax+b }{ cx+d } }, \)

gdzie \( N= NWW(n_1, n_2, \dots, n_k). \)

Głównym celem podstawienia w całce z pierwiastkiem z funkcji homograficznej jest to, aby zamiast rozwiązywać całkę z funkcji niewymiernej mieć do rozwiązywania całkę z funkcji wymiernej. Poniższe przykłady przybliżą nam w jaki sposób należy postępować w obliczaniu całki, w której występuje pierwiastek z funkcji liniowej albo homograficznej.

Przykład 1:

Obliczmy całkę

(5)

\( \int \frac{ dx }{ \sqrt{ 1-x }+\sqrt[3]{ 1-x } } \)

Zauważmy, że w powyższej całce występują pierwiastki różnych stopni z tej samej funkcji liniowej \( 1-x. \)
Zatem w rozwiązaniu całki zastosujemy podstawienie

(6)

\( t=\sqrt[6]{ 1-x }, \)

ponieważ \( 6=NWW(2,3). \)

Przekształcając stronami powyższe podstawienie otrzymujemy

\( \begin{align*}t^6&=1-x, \\x&=1-t^6, \\ \sqrt{ 1-x }&=\sqrt{ t^6 }=t^3, \\ \sqrt[3]{ 1-x }&=\sqrt[3]{ t^6 }=t^2,\end{align*} \)

a następnie licząc różniczkę stronami mamy

(7)

\( dx=-6t^5dt. \)

Stąd

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ dx }{ \sqrt{ 1-x }+\sqrt[3]{ 1-x } }=-6\int \frac{ t^5 }{ \sqrt{ t^6 }+\sqrt[3]{ t^6 } }dt\\&=-6\int \frac{ t^5 }{ t^3+t^2 }dt=-6\int \frac{ t^5 }{ t^3+t^2 }dt=-6\int \frac{ t^3 }{ t+1 }dt.\end{align*} \)

Następnie wykonując dzielenie wielomianów z resztą, otrzymujemy

\( \begin{array}{lll}( t^3) & : & (t+1) = t^2 -t+1 \\ \underline{ -t^3-t^2 } & & \\ \qquad -t^2 & & \\ \qquad \underline{ t^2+t } & &\\ \qquad \qquad t & & \\ \qquad \qquad \underline{ -t-1 } & &\\ \qquad \quad \quad -1 & & \\ \end{array} \)

Zatem mamy

(8)

\( \frac{ t^3 }{ t+1 }=t^2 -t+1-\frac{ 1 }{ t+1 }. \)

Wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=-6 \int \left(t^2 -t+1-\frac{ 1 }{ t+1 }\right) dt =-6\int \left(t^2 -t+1\right)dt+6\int \frac{ dt }{ t+1 }=\\&=-6\left(\frac{ t^3 }{ 3 } - \frac{ t^2 }{ 2 }+t\right)+6 \ln|t+1|+C=-2t^3+3t^2-6t+6 \ln|t+1|+C.\end{align*} \)

Następnie wracając poprzez podstawienie do \( x \) otrzymujemy

\( \begin{align*}I=-2\sqrt{ 1-x }+3\sqrt[3]{ 1-x }-6\sqrt[6]{ 1-x }+6 \ln\left|\sqrt[6]{ 1-x }+1\right|+C.\end{align*} \)

Przykład 2:

Obliczmy całkę

(9)

\( \int \frac{ 1 }{ x } \sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } }dx. \)

W rozwiązaniu całki zastosujemy podstawienie

(10)

\( t =\sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } }. \)

Przekształcając stronami powyższe podstawienie, otrzymujemy

\( \begin{align*}t^2&=\frac{ 1+x }{ 1-x }, \\x&= \frac{ t^2-1 }{ t^2+1 },\end{align*} \)

a następnie różniczkując równanie stronami, mamy

(11)

\( dx = \frac{ 4t }{ (t^2+1)^2 }dt. \)

Stąd

(12)

\( I= \int \frac{ 1 }{ x } \sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } }dx = \int \frac{ 1 }{ \frac{ t^2-1 }{ t^2+1 } } \cdot t \cdot \frac{ 4t }{ (t^2+1)^2 } dt = \int \frac{ 4t^2 }{ (t^2-1)(t^2+1) } dt. \)

Rozkład funkcji podcałkowej na ułamki proste ma wówczas postać:

(13)

\( \frac{ 4t^2 }{ (t+1)(t-1)(t^2+1) }= \frac{ A }{ t+1 }+\frac{ B }{ t-1 }+\frac{ Ct+D }{ t^2+1 }. \)

Mnożąc powyższe równanie obustronnie przez \( (t^2-1)(t^2+1) \) otrzymujemy

(14)

\( 4t^2=A(t-1)(t^2+1)+B(t+1)(t^2+1)+(Ct+D)(t^2-1). \)

Aby wyznaczyć nieznane współczynniki grupujemy wyrazy podobne

(15)

\( 4t^2=(A+B+C)t^3+(-A+B+D)t^2+(A+B-C)t-A+B-D \)

i porównując współczynniki przy poszczególnych potęgach otrzymujemy układ równań

\( \begin{cases} A+B+C=0\\-A+B+D=4\\ A+B-C=0\\-A+B-D=0.\end{cases} \)

Stąd \( A=-1 \), \( B=1 \), \( C=0 \) i \( D=2 \).
Wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=\int \left(\frac{ -1 }{ t+1 }+\frac{ 1 }{ t-1 }+\frac{ 2 }{ t^2+1 } \right)dt = -\int \frac{ dt }{ t+1 } +\int \frac{ dt }{ t-1 }+2 \int \frac{ dt }{ t^2+1 }\\&=- \ln |t+1|+\ln|t-1|+2 \text{ arctg } t +C = \ln \left|\frac{ t-1 }{ t+1 }\right|+2 \text{ arctg } t +C.\end{align*} \)

Wracając do podstawienia otrzymujemy

(16)

\( I=\ln \left|\frac{ \sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } }-1 }{ \sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } }+1 }\right|+2 \text{ arctg } \sqrt{ \frac{ 1+x }{ 1-x } } +C. \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Oblicz całkę

(17)

\( \int \sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } } \, dx. \)

Rozwiązanie:

Zastosujmy podstawienie

(18)

\( t = \sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } }, \)

z którego po przekształceniach mamy

\( \begin{align*}t^3&=\frac{ 3x+4 }{ 1-x },\\x& = \frac{ t^3-4 }{ t^3+3 },\\\sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } }&=\sqrt[3]{ t^3 }=t,\end{align*} \)

a następnie różniczkując równanie stronami

(19)

\( dx = \frac{ 21t^2 }{ (t^3+3)^2 }\,dt. \)

Wówczas

\( \begin{align*}I&=\int \sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } } \, dx = \int t \cdot \frac{ 21t^2 }{ (t^3+3)^2 }\,dt \\&= \int 7t \cdot \frac{ 3t^2 }{ (t^3+3)^2 }\,dt =\left|\begin{array}{cc}f = 7t & f^{\prime} = 7dt \\g^{\prime} = \frac{ 3t^2 }{ (t^3+3)^2 } dt & g=\frac{ -1 }{ t^3+3 }\end{array} \right| \\&= -\frac{ 7t }{ t^3+3 }+ 7\int \frac{ dt }{ t^3+3 }=-\frac{ 7t }{ t^3+3 }+ 7 \int \frac{ dt }{ (t+\sqrt[3]{ 3 })(t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 }) }.\end{align*} \)

Wówczas rozkład na ułamki proste ma postać

(20)

\( \frac{ 1 }{ \left(t+\sqrt[3]{ 3 }\right)\left(t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 }\right) }=\frac{ A }{ t+\sqrt[3]{ 3 } }+\frac{ Bt+C }{ t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 } } \)

i stąd po przemnożeniu równania przez mianownik lewej strony oraz pogrupowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy zależność

(21)

\( 1=(A+B)t^2+(-\sqrt[3]{ 3 }A+\sqrt[3]{ 3 }B+C)t+\sqrt[3]{ 9 }A+\sqrt[3]{ 3 }C. \)

Zatem szukane liczby spełniają układ równań

\( \begin{cases} A+B=0\\-\sqrt[3]{ 3 }A+\sqrt[3]{ 3 }B+C=0\\ \sqrt[3]{ 9 }A+\sqrt[3]{ 3 }C=1.\end{cases} \)

Stąd \( A=\frac{ \sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } \), \( B=-\frac{ \sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } \) i \( C=\frac{ 2\sqrt[3]{ 9 } }{ 9 } \) i wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=-\frac{ 7t }{ t^3+3 }+ 7\int \left(\frac{ \frac{ \sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } }{ t+\sqrt[3]{ 3 } }+\frac{ -\frac{ \sqrt[3]{ 3 } }{ 9 }t+\frac{ 2\sqrt[3]{ 9 } }{ 9 } }{ t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 } }\right)dt \\&= \frac{ 7t }{ t^3+3 }+ \frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 9 }\int \frac{ dt }{ t+\sqrt[3]{ 3 } }-\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 9 }\int\frac{ t-2\sqrt[3]{ 3 } }{ t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 } }dt \\&= \frac{ 7t }{ t^3+3 }+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } \ln \left|t+\sqrt[3]{ 3 }\right|-\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 18 }\int\frac{ 2t-\sqrt[3]{ 3 } }{ t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 } }dt+\frac{ 7\sqrt[3]{ 9 } }{ 6 }\int \frac{ dt }{ t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 } }\\&=\frac{ 7t }{ t^3+3 }+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } \ln \left|t+\sqrt[3]{ 3 }\right|-\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 18 } \ln \left|t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 }\right|+\frac{ 7\sqrt[3]{ 9 } }{ 6 }\int \frac{ dt }{ \left(t-\frac{ \sqrt[3]{ 3 } }{ 2 }\right)^2+\frac{ 3\sqrt[3]{ 9 } }{ 4 } }\\&=\frac{ 7t }{ t^3+3 }+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 9 } \ln \left|t+\sqrt[3]{ 3 }\right|-\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 18 } \ln \left|t^2-\sqrt[3]{ 3 }t+\sqrt[3]{ 9 }\right|+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 3\sqrt{ 3 } } \cdot \text{ arctg } \frac{ 2t-\sqrt[3]{ 3 } }{ \sqrt{ 3 } \cdot \sqrt[3]{ 3 } }+C\end{align*} \)

Następnie z podstawienia \( t = \sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } } \) mamy

(22)

\( I=(1-x)\sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } }+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 18 } \ln \frac{ \left(\sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } }+\sqrt[3]{ 3 }\right)^2 }{ \left|\sqrt[3]{ \left(\frac{ 3x+4 }{ 1-x }\right)^2 }-\sqrt[3]{ \frac{ 9x+12 }{ 1-x } }+\sqrt[3]{ 9 }\right| }+\frac{ 7\sqrt[3]{ 3 } }{ 3\sqrt{ 3 } } \cdot \text{ arctg }\left( \frac{ 2\sqrt[3]{ \frac{ 3x+4 }{ 1-x } }-\sqrt[3]{ 3 } }{ \sqrt{ 3 } \cdot \sqrt[3]{ 3 } }\right)+C. \)

Zadanie 2:

Treść zadania:

Oblicz całkę

(23)

\( \int { \frac{ dx }{ \sqrt{ 1+\frac{ 1 }{ x } }-\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } } } }. \)

Rozwiązanie:

Zastosujmy podstawienie

(24)

\( t=\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } }, \)

ponieważ \( 4=NWW(2,4). \)
Po przekształceniach mamy

\( \begin{align*}t^4&=1+\frac{ 1 }{ x },\\x&=\frac{ 1 }{ t^4-1 }, \\\sqrt{ 1+\frac{ 1 }{ x } }&=\sqrt{ t^4 }=t^2,\\\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } }&=\sqrt[4]{ t^4 }=t,\end{align*} \)

a następnie różniczkując stronami otrzymujemy

(25)

\( dx=\frac{ -4t^3 }{ (t^4-1)^2 }dt. \)

Wówczas

\( \begin{align*}I&=\int { \frac{ dx }{ \sqrt{ 1+\frac{ 1 }{ x } }-\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } } } }= -4\int { \frac{ \frac{ t^3 }{ (t^4-1)^2 }dt }{ t^2-t } }=-4\int \frac{ t^2 }{ (t-1)(t^4-1)^2 }dt\\&=-4\int \frac{ t^2 }{ (t-1)(t^2-1)^2(t^2+1)^2 }dt=-4\int \frac{ t^2 }{ (t-1)(t-1)^2(t+1)^2(t^2+1)^2 }dt\\&=-4\int \frac{ t^2 }{ (t-1)^3(t+1)^2(t^2+1)^2 }dt\end{align*} \)

Wówczas rozkład na ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju ma postać:

(26)

\( \frac{ t^2 }{ (t-1)^3(t+1)^2(t^2+1)^2 }=\frac{ A }{ t-1 }+\frac{ B }{ (t-1)^2 }+\frac{ C }{ (t-1)^3 }+\frac{ D }{ t+1 }+\frac{ E }{ (t+1)^2 }+\frac{ Ft+G }{ t^2+1 }+\frac{ Ht+K }{ (t^2+1)^2 }. \)

Mnożąc powyższą równość przez \( (t-1)^3(t+1)^2(t^2+1)^2 \) otrzymujemy

\( \begin{align*}t^2&=A(t-1)^2(t+1)^2(t^2+1)^2\\&+B(t-1)(t+1)^2(t^2+1)^2+C(t+1)^2(t^2+1)^2+\\&+D(t-1)^3(t+1)(t^2+1)^2+E(t-1)^3(t^2+1)^2+\\&+(Ft+G)(t-1)^3(t+1)^2(t^2+1)+(Ht+K)(t-1)^3(t+1)^2.\end{align*} \)

Zatem szukane liczby spełniają układ równań

\( \begin{cases} A+D+F=0\\B-2D+E-F+G=0\\ B+C+2D-3E-F-G+H=0\\ B+2C-2D+5E+F-G-H+K=0\\-2A+B+3C-7E-F+G-2H-K=0\\ -B+4C+2D+7E+F-G+2H-2K=0\\ -B+3C-2D-5E+F+G+H+2K=1\\ -B+2C+2D+3E-F+G-H+K=0\\ A-B+C-D-E-G-K=0.\end{cases} \)

Stąd

\( \begin{cases} A=-\frac{ 1 }{ 64 }\\B=-\frac{ 1 }{ 16 }\\ C=\frac{ 1 }{ 16 }\\ D=-\frac{ 3 }{ 64 }\\E=-\frac{ 1 }{ 32 }\\ F=\frac{ 1 }{ 16 }\\ G=\frac{ 1 }{ 16 }\\ H=\frac{ 1 }{ 8 }\\ K=\frac{ 1 }{ 8 }.\end{cases} \)

Wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=-4\int \left(\frac{ -\frac{ 1 }{ 64 } }{ t-1 }+\frac{ -\frac{ 1 }{ 16 } }{ (t-1)^2 }+\frac{ \frac{ 1 }{ 16 } }{ (t-1)^3 }+\frac{ -\frac{ 3 }{ 64 } }{ t+1 }+\frac{ -\frac{ 1 }{ 32 } }{ (t+1)^2 }+\frac{ \frac{ 1 }{ 16 }t+\frac{ 1 }{ 16 } }{ t^2+1 }+\frac{ \frac{ 1 }{ 8 }t+\frac{ 1 }{ 8 } }{ (t^2+1)^2 }\right)dt\\&=-\frac{ 4 }{ 64 }\int \left(\frac{ -1 }{ t-1 }+\frac{ -4 }{ (t-1)^2 }+\frac{ 4 }{ (t-1)^3 }+\frac{ -3 }{ t+1 }+\frac{ -2 }{ (t+1)^2 }+\frac{ 4t+4 }{ t^2+1 }+\frac{ 8t+8 }{ (t^2+1)^2 }\right)dt\\&=-\frac{ 1 }{ 16 }\left( -\ln|t-1|+\frac{ 4 }{ t-1 } -\frac{ 2 }{ (t-1)^2 }-3\ln|t+1|+\frac{ 2 }{ t+1 } +\int\frac{ 4t+4 }{ t^2+1 }dt+\int\frac{ 8t+8 }{ (t^2+1)^2 }dt\right)\\&=-\frac{ 1 }{ 16 }\left( -\ln|(t-1)(t+1)^3|+\frac{ 6t+2 }{ t^2-1 } -\frac{ 2 }{ (t-1)^2 } +\int\frac{ 4t+4 }{ t^2+1 }dt+\int\frac{ 8t+8 }{ (t^2+1)^2 }dt\right)\end{align*} \)

Wyliczając pozostałe całki

(27)

\( \int\frac{ 4t+4 }{ t^2+1 }dt=2\int\frac{ 2t }{ t^2+1 }dt+4\int\frac{ dt }{ t^2+1 }=2\ln|t^2+1|+4\text{ arctg }t+C \)

\( \begin{align*}\int\frac{ 8t+8 }{ (t^2+1)^2 }dt&=4\int\frac{ 2t }{ (t^2+1)^2 }dt+8\int\frac{ dt }{ (t^2+1)^2 }\\&=-\frac{ 4 }{ t^2+1 }+8\left(\frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ t }{ t^2+1 }+\frac{ 1 }{ 2 }\int\frac{ dt }{ t^2+1 }\right)\\&=-\frac{ 4 }{ t^2+1 }+\frac{ 4t }{ t^2+1 }+4\text{ arctg }t+C\end{align*} \)

otrzymujemy

\( \begin{align*}I&=-\frac{ 1 }{ 16 }\left( -\ln \left|(t-1)(t+1)^3\right|+\frac{ 6t+2 }{ t^2-1 } -\frac{ 2 }{ (t-1)^2 } +2\ln \left|t^2+1\right|+\frac{ 4t }{ t^2+1 }+8\text{ arctg }t\right)+C\\&=\frac{ 1 }{ 16 }\ln\left|(t-1)(t+1)^3(t^2+1)^2\right|-\frac{ 1 }{ 8 }\cdot \frac{ 3t+1 }{ t^2-1 } +\frac{ 1 }{ 8 }\cdot\frac{ 1 }{ (t-1)^2 } -\frac{ 1 }{ 4 }\cdot\frac{ t }{ t^2+1 }-\frac{ 1 }{ 2 }\text{ arctg }t+C\\&=\frac{ 1 }{ 16 }\ln\left|(t^4-1)(t+1)^2(t^2+1)\right|-\frac{ 1 }{ 8 }\cdot \frac{ 5t^3+t }{ t^4-1 } +\frac{ 1 }{ 8 }\cdot\frac{ 1 }{ (t-1)^2 } -\frac{ 1 }{ 2 }\text{ arctg }t+C\end{align*} \)

Następnie z podstawienia \( t=\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } } \) mamy

\( \begin{multline*}I=\frac{ 1 }{ 16 }\ln\left|\frac{ 1 }{ x }\left(\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } }+1\right)^2\left(\sqrt{ 1+\frac{ 1 }{ x } }+1\right)\right|- \frac{x}{8} \sqrt[4]{1+\frac{1}{x}}\left( 5 \sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)+\\ +\frac{ 1 }{ 8 }\cdot\frac{ 1 }{ \left(\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } }-1\right)^2 } -\frac{ 1 }{ 2 }\text{ arctg }\sqrt[4]{ 1+\frac{ 1 }{ x } }+C.\end{multline*} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Całka z pierwiastkami dowolnego stopnia z funkcji liniowej lub homograficznej

Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych stopni z tej samej funkcji liniowej

Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji niewymiernej z pierwiastkiem dowolnych stopni z tej samej funkcji homograficznej

Przykład 1:

Przykład 2:

Zadanie 1:

Treść zadania:

Rozwiązanie:

Zadanie 2:

Treść zadania:

Rozwiązanie: